Юрий Демич родился 18 августа 1948 года в Магадане в актерской семье. Его отец - Александр Иванович - был актером театра, впоследствии удостоенным звания народного артиста РСФСР (играл в Театре имени Ермоловой). В 40-е годы стараниями коллеги по театру, который донес в НКВД, что Александр Демич рассказал антисоветские анекдот, отец Юрия вместе с женой был отправлен в ссылку в Магадан. Там и родился их первенец - Юрий.
Закончив школу в 1966 году, Демич поступил в ГИТИС. Когда учился на последнем курсе, его заметил известный украинский кинорежиссер Тимофей Левчук и пригласил на роль Юрия Коцюбинского в картину «Семья Коцюбинских». Фильм вышел на экраны в 1971 году и вскоре был удостоен Государственной премии Украинской ССР. Это была первая большая награда в творческой карьере Юрия Демича».
«Не менее бурно складывалась и личная жизнь актера. Женившись в начале 70-х годов, Юрий Демич прожил с женой всего лишь несколько лет, после чего развелся. В этом браке у него на свет появился сын. В начале 80-х годов, во время съемок фильма «Магистраль» (1983), в поезде «Красная стрела» он познакомился с молодой актрисой Татьяной Люкшиновой. Молодые обменялись адресами и расстались на какое-то время. Однако прошло всего лишь несколько месяцев, и Юрий Демич вновь вспомнил про свою новую знакомую. В тот день он выпил, поругался с матерью и как был, в домашней одежде и тапках, заявился к Татьяне домой. Видимо, именно тогда у них созрело решение связать свою судьбу друг с другом. Несмотря на то что для обоих это был уже второй брак (Татьяна воспитывала дочь), и то, что мать Юрия Демича была против, они все-таки поженились».